INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS
La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de una parte de la física denominada cinemática. Tal descripción se apoya en la definición de una serie de magnitudes que son características de cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos más sencillos son los rectilíneos y dentro de éstos los uniformes. Los movimientos circulares son los más simples de los de trayectoria curva. Unos y otros han sido estudiados desde la antigüedad ayudando al hombre a forjarse una imagen o representación del mundo físico.
«Vamos a establecer una ciencia nueva sobre un tema muy antiguo. Tal vez no haya en la naturaleza nada más antiguo que el movimiento y acerca de él son numerosos y extensos los volúmenes escritos por los filósofos. Sin embargo, entre sus propiedades encuentro muchas que aun siendo dignas de ser conocidas, todavía no han sido observadas ni demostradas hasta ahora. Se ha fijado la atención en algunas que son más directas e inmediatamente observables, como por ejemplo, que el movimiento natural de caída de los cuerpos se acelera continuamente; pero, sin embargo, no se ha hallado, hasta ahora, en qué proporción tiene lugar esta aceleración... Se ha observado que los cuerpos lanzados, es decir, los proyectiles, describen una línea curva de cierto tipo, pero nadie ha puesto en evidencia que dicha curva es una parábola. Yo demostraré que esto es así, y también otras cosas dignas de ser conocidas; y lo que es más importante, dejaré abiertos la puerta y el acceso a una vasta e importantísima ciencia cuyos fundamentos serán estas mismas investigaciones. Otras mentes más agudas que la mía penetrarán después en ella hasta alcanzar mayores profundidades.»
GALILEO GALILEI (1564-1642)
La observación y el estudio de los movimientos ha atraído la atención del hombre desde tiempos remotos. Así, es precisamente en la antigua Grecia en donde tiene su origen la sentencia «Ignorar el movimiento es ignorar la naturaleza», que refleja la importancia capital que se le otorgaba al tema. Siguiendo esta tradición, científicos y filósofos medievales observaron los movimientos de los cuerpos y especularon sobre sus características. Los propios artilleros manejaron de una forma práctica el tiro de proyectiles de modo que supieron inclinar convenientemente el cañón para conseguir el máximo alcance de la bala. Sin embargo, el estudio propiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena parte de los conceptos que aparecen recogidos en este capítulo.
EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN
Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia su posición respecto de la de otros supuestos fijos, o que se toman como referencia. El movimiento es, por tanto, cambio de posición con el tiempo.
El carácter relativo del movimiento
De acuerdo con la anterior definición, para estudiar un
movimiento es preciso fijar previamente la
posición del observador que contempla dicho movimiento. En física hablar de un observador equivale a situarlo fijo con respecto al objeto o conjunto de objetos que definen
el sistema de referencia. Es posible que un mismo cuerpo esté en reposo para un observador -o visto desde un sistema de referencia determinado- y en movimiento para otro.
Así, un pasajero sentado en el interior de un avión que despega estará en reposo respecto del propio avión y en movimiento respecto de la pista de aterrizaje. Una bola que rueda por el suelo de un vagón de un tren en marcha, describirá movimientos de características diferentes según sea observado desde el andén o desde uno de los asientos de su interior.
El estado de reposo o de movimiento de un cuerpo no es, por tanto,
absoluto o independiente de la situación del observador, sino
relativo, es decir, depende del sistema de referencia desde el que se observe.
El concepto de cinemática
Es posible estudiar el movimiento de dos maneras:
a) describiéndolo, a partir de ciertas magnitudes físicas, a saber: posición, velocidad y aceleración (cinemática);
b) analizando las causas que originan dicho movimiento (dinámica).
En el primer caso se estudia
cómo se mueve un cuerpo, mientras que en el segundo se considera el porqué se mueve.
La cinemática es la parte de la física que estudia cómo se mueven los cuerpos sin pretender explicar las causas que originan dichos movimientos.
El concepto de trayectoria
Para simplificar el estudio del movimiento, representaremos a los cuerpos móviles por puntos geométricos, olvidándonos, por el momento, de su forma y tamaño.
Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa al cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del tiempo. La estela que deja en el cielo un avión a reacción o los raíles de una línea de ferrocarril son representaciones aproximadas de esa línea imaginaria que se denomina trayectoria
Según sea la forma de su trayectoria los movimientos se clasifican en rectilíneos y curvilíneos. Un coche que recorra una calle recta describe un movimiento rectilíneo, mientras que cuando tome una curva o dé una vuelta a una plaza circular, describirá un movimiento curvilíneo.
LA POSICIÓN Y LOS CAMBIOS DE ...
La definición de la posición de un cuerpo móvil se efectúa con la ayuda de las matemáticas. Aun cuando pudiera parecer que la distancia a un punto fijo constituye una buena medida de la posición de un cuerpo, esto no es siempre cierto. Basta imaginar, por ejemplo, el movimiento de una noria. Todos sus carricoches equidistan del punto central; no hay por tanto variación de la distancia al centro y, sin embargo, hay cambio de posición, es decir, existe movimiento.
En los movimientos rectilíneos
La definición de la posición y de sus cambios en los movimientos rectilíneos puede hacerse asignando a cada punto un número real, que representa la distancia a otro punto fijo
0 tomado como origen. Si el punto
0 se sitúa en un extremo de la trayectoria, todos los números o coordenadas
x de posición serán positivos. Tal es el caso del kilómetro cero situado en la Puerta del Sol de Madrid, de donde parten todas las carreteras de España. Los postes kilométricos reflejan, por ello, únicamente números positivos.
Es posible, no obstante, fijar el origen
0 de coordenadas en un punto central de la recta trayectoria; en tales casos las posiciones a la izquierda de
0 se representarán mediante números negativos y las situadas a la derecha mediante números positivos. En los movimientos vibratorios o de vaivén el origen
0 se suele situar en el punto central, lo que da lugar a la aparición tanto de coordenadas positivas como negativas.
Los cambios de posición o
desplazamientos pueden calcularse como diferencias entre las coordenadas correspondientes. Utilizando el símbolo D
de incremento o diferencia, el desplazamiento que experimenta el móvil en un intervalo de tiempo D
t = t - to determinado vendrá dado por la expresión D
x = x - xo
, donde x representa la coordenada correspondiente al instante final
t y
xo es la coordenada del punto móvil en el instante inicial
to. Cuando todas las coordenadas son positivas el desplazamiento D
x representa simplemente la distancia entre los puntos inicial y final.
En los movimientos curvilíneos
Los movimientos curvilíneos se dan en el plano o en el espacio, son, por tanto, movimientos bi o incluso tridimensionales. Ello hace que para expresar la posición sea necesario especificar algo más que un sólo número. Así, para definir la posición de un avión en pleno vuelo se requieren tres números o coordenadas que indiquen la latitud, la longitud geográfica y la altitud respectivamente. Los dos primeros establecen la posición del punto sobre el globo terrestre y el segundo informa sobre la altura a que se encuentra sobre la vertical trazada sobre el punto determinado por las dos primeras coordenadas. En el caso más sencillo de que la trayectoria sea una curva contenida en un plano, serán suficientes dos coordenadas para definir la posición.
Del mismo modo que en los movimientos rectilíneos o unidimensionales el origen
0 representa el punto fijo, que se toma como referencia, en los movimientos planos o bidimensionales el sistema de referencia queda representado por un conjunto de dos ejes perpendiculares
X e Y y la posición del punto móvil
P respecto de dicho sistema vendrá dada por sus correspondientes coordenadas
x e
y, es decir,
P(x,y). En estos movimientos más complejos el desplazamiento se puede medir por el segmento que une los puntos inicial
P1 y final
P2 y su cálculo se efectúa a partir de los valores de sus coordenadas.
No obstante lo anterior, si se conoce de antemano la trayectoria de un movimiento, aun cuando éste sea curvilíneo, podrá expresarse la posición del punto móvil mediante un número, como si fuera realmente rectilíneo, siempre que la trayectoria esté coordenada. Así, cuando se indica por radioteléfono que un coche está averiado en el punto kilométrico 86,300 de la carretera nacional Madrid-Burgos, a pesar del carácter curvilíneo de ésta, la posición queda definida sin ambigüedad. En general, pues, el espacio
s -o distancia recorrida por el móvil sobre una trayectoria conocida cualquiera y medido a partir del origen-, determinará la posición del móvil y permitirá, por tanto, el estudio y descripción de los movimientos, incluso de los curvilíneos, como si fueran rectilíneos.
FORMAS DE DEFINIR LA POSICIÓN Y SUS CAMBIOS
Se puede definir la posición de un cuerpo móvil de tres maneras:
Escalarmente. Sí la trayectoria es conocida y está coordenada de modo que el origen
0 se toma en un punto extremo de la misma el espacio recorrido por el punto móvil
P indicará cuál es su posición. Conforme transcurre el tiempo,
s crece y por tanto su variación D
s para cualquier intervalo de tiempo será siempre positiva. Esta definición de la posición y de sus cambios es puramente escalar, puesto que no informa sobre el sentido del movimiento.
Pseudo escalarmente. Es posible coordenar la trayectoria conocida, fijado el origen
0 en un punto intermedio. En tal caso la coordenada
s puede ser negativa, cuando el punto
P está a la izquierda de
0, y positiva cuando está a su derecha.
Si el punto móvil
P se dirige de izquierda a derecha el valor de la coordenada
s aumenta en cualquier caso y por tanto D
s es positivo. Si el punto
P se dirige de derecha a izquierda el sentido del movimiento corresponde al de los valores decrecientes de
s, tanto si el móvil está en la parte negativa de la trayectoria como si está en la parte positiva. Ello significa que s es entonces negativo. Por consiguiente el signo de D
s indica, en estos casos, el sentido del movimiento que será de la parte negativa hacia la parte positiva de la trayectoria si D
s es positivo y opuesto cuando D
s sea negativo.
Vectorialmente. Las coordenadas
x e
y de un punto
P que se mueve en un plano permiten fijar la posición sin necesidad de conocer la trayectoria. Esta forma de definir la posición y sus cambios en un movimiento es la más general y puede expresarse también mediante un segmento orientado o vector, que tenga como origen el origen
0 del sistema de ejes
XY y como extremo el punto móvil
P. Dicho vector se denomina vector de posición y se representa en la forma
r. La línea descrita por el extremo o flecha del vector de posición durante el movimiento es precisamente la trayectoria.
Los cambios o variaciones de la posición se representan en la forma D
r y describen el desplazamiento del móvil en el intervalo de tiempo D
t que transcurre entre las posiciones extremas
r1 y
r2 correspondientes. Este vector D
r que se denomina vector desplazamiento constituye, por tanto, el vector diferencia de los vectores de posición inicial y final, es decir, D
r =
r2 -
r1.
LA VELOCIDAD
La descripción de un movimiento supone el conocer algo más que su trayectoria. Una característica que añade una información importante sobre el movimiento es la rapidez. En general, cuando algo cambia con el tiempo se emplea el término de rapidez para describir su ritmo de variación temporal. En cinemática la rapidez con la que se produce un movimiento se denomina
velocidad y se define como el espacio que recorre el móvil sobre la trayectoria en la unidad de tiempo.
Velocidad constante
Decir que un cuerpo se mueve con velocidad constante es lo mismo que decir que la rapidez de su movimiento no varía, es decir, que va recorriendo la trayectoria y ganando espacio siempre al mismo ritmo. Los movimientos de los trenes o los de los coches en una autopista se aproximan bastante en algunos tramos a movimientos de velocidad constante. En dos intervalos de tiempo cualesquiera de igual duración el cuerpo cubrirá la misma distancia. El móvil recorre, por tanto, espacios iguales en tiempos iguales, lo que significa que cuando la velocidad es constante el espacio
s que recorre el cuerpo móvil sobre la trayectoria y el tiempo
t que emplea en recorrerlo son magnitudes directamente proporcionales.
La anterior relación de proporcionalidad se expresa matemáticamente en la forma:
s = v · t (2.1)
siendo
v constante.
Dividiendo por
t los dos miembros de esta ecuación resulta la expresión de
v:
La unidad de medida de la velocidad es el cociente entre la unidad de medida de espacio o distancia y la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional (SI) es el
metro/segundo (m/s) o ms-1. Sin embargo, resulta muy frecuente en la vida diaria la utilización de una unidad práctica de velocidad, el
kilómetro/hora (km/h),
que no corresponde al SI. La relación entre ambas es la que sigue:
o inversamente
1 m/s = 3,6 km/h
Velocidad media
La prensa diaria publica, de vez en cuando, la velocidad media de circulación en automóvil característica de las grandes ciudades. En Madrid, por ejemplo, se cifra en 20 km/h. Ello no significa que los coches se desplacen por las calles siempre a esa velocidad. Tomando como referencia un trayecto de 10 km, el coche puede alcanzar los 60 o incluso los 70 km/h, pero en el trayecto completo ha de frenar y parar a causa de las retenciones, de modo que para cubrir los 10 km del recorrido establecido emplea media hora. La velocidad del coche ha cambiado con el tiempo, pero, en promedio, y a efectos de rapidez el movimiento equivale a otro que se hubiera efectuado a una velocidad constante de 20 km/h.
El cociente entre el espacio D
s recorrido por un móvil en un intervalo de tiempo y el valor D
t de dicho intervalo se denomina
velocidad media vm, es decir:
Si se representa el tiempo o instante inicial medido por un cronómetro como
to y el final mediante
t, las distancias al origen, correspondientes a ambos instantes, se podrán escribir como
so
y
s respectivamente, de modo que la expresión anterior equivale a esta otra:
Si el instante inicial
to se toma como origen de tiempos y el punto en el que se halla el móvil en ese instante se considera como el punto O u origen de espacios sobre la trayectoria, entonces to
= 0,
so
= 0 y la ecuación anterior se convierte en:
La comparación entre las ecuaciones (2.2) de la velocidad constante y (2.5) de la velocidad media indica que el valor de ésta puede considerarse como el de una velocidad constante equivalente.
Velocidad instantánea
En general, la velocidad con la que se mueve un coche, un avión o una motocicleta, por ejemplo, varía de un instante a otro. Ello queda reflejado en el movimiento de la aguja de sus respectivos velocímetros. El valor que toma la velocidad en un instante dado recibe el nombre de
velocidad instantánea.
Aun cuando la noción de instante, al igual que la noción de punto, constituye una abstracción, es posible aproximarse bastante a ella considerándola como un intervalo de tiempo muy pequeño. Así, la lectura del velocímetro se produce en centésimas de segundos y ese tiempo puede ser tomado en el movimiento de un coche como un instante, ya que durante él la velocidad prácticamente no cambia de magnitud.
La letra griega
empleada habitualmente para representar incrementos o diferencias equivale a la
D mayúscula, así que variaciones muy pequeñas se podrán expresar, utilizando un símbolo análogo, mediante la
d minúscula. Un intervalo de tiempo muy pequeño, equiparable a un instante, se representará entonces como
dt y la correspondiente variación del espacio medido sobre la trayectoria vendrá dado por
ds. De modo que la velocidad instantánea
v se podrá escribir en la forma:
Aun cuando esta expresión tiene un significado matemático preciso que permite su manejo en cálculos y operaciones complicadas, su significado físico corresponde al cociente de dos incrementos o variaciones muy pequeñas y, además, relacionadas entre sí.
LA ACELERACIÓN
En los movimientos ordinarios la velocidad no se mantiene constante, sino que varía con el tiempo. En tales casos es posible definir una nueva magnitud que describa la rapidez con la que se producen tales variaciones de la velocidad. Dicha magnitud se denomina
aceleración. Se define como lo que varía la velocidad en la unidad de tiempo y representa, por tanto, el ritmo de variación de la velocidad con el tiempo.
Una de las características que definen la potencia de un automóvil es su capacidad para ganar velocidad. Por tal motivo, los fabricantes suelen informar de ello al comprador, indicando qué tiempo (en segundos) tarda el modelo en cuestión en alcanzar los 100 km/h partiendo del reposo. Ese tiempo, que no es propiamente una aceleración, está directamente relacionado con ella, puesto que cuanto mayor sea la rapidez con la que el coche gana velocidad, menor será el tiempo que emplea en pasar de 0 a 100 km/h. Un modelo que emplee 5,4 s en conseguir los 100 km/h habrá desarrollado una aceleración que puede calcularse del siguiente modo:
Lo que significa que ha aumentado su velocidad en 5,1 m/s en cada segundo.
